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Substituons maintenant partout $y+o$ à la place de $y\,;$ on aura

$f(x+i,y+o)=f(x,y+o)+if'(x,y+o)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y+o)+\ldots .$

Or, si l’on désigne par $f_{_{'}},f_{_{''}},f_{_{'''}},\ldots$ les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à $y,$ il est clair que la fonction $f(x,y+o),$ considérée comme fonction de $y+o$ et indépendamment de $x,$ deviendra

$f(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots .$

De même, en supposant toujours que les traits appliqués au bas de la lettre $f$ indiquent les fonctions primes, secondes, etc. relativement à y des fonctions déjà désignées par $f',f'',\ldots$ on aura

${\begin{aligned}f'\ (x,y+o)=&f'\ (x,y)+of'_{_{'}}\,(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\\f''(x,y+o)=&f''(x,y)+of''_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f''_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de $i$ et $o,$ on aura

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)\\&+{\frac {i^{2}o}{2}}f''_{_{'}}(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}$

où la forme générale des termes est

${\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f_{n}^{m}(x,y).$

74. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de $f(x+i,y+o),$ nous avons commencé par substituer, dans $f(x,y),$ $x+i$ pour $x,$ et nous avons développé suivant $i\,;$ nous