Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/148

dérivées relativement à $i$ et $0.$ Ainsi, on aura

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=f(x,y)\ +&if'(x+\lambda i,y+\lambda o)+of_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\=f(x,y)\ +&if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\+&{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\\\=f(x,y)\ +&if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)\\+&{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {i^{2}o}{2.3}}f''_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\+&{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\=\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La quantité $\lambda i$ répond, comme l’on voit, à la quantité que nous avons désignée par $j$ dans le n^o 40 ; nous préférons ici l’expression $\lambda i,$ parce que le même coefficient $\lambda$ se trouve dans la quantité $\lambda o.$ De ces formules, qu’il serait maintenant aisé d’étendre aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, on peut déduire la conclusion suivante :

Lorsque, dans le développement d’une fonction suivant les puissances et les produits de certaines quantités, on veut s’arrêter aux termes d’un ordre donné, c’est-à-dire dans lesquels ces quantités forment des dimensions d’un degré égal à l’exposant de cet ordre, on peut supposer le reste du développement égal aux seuls termes de l’ordre suivant, mais en y conservant ces mêmes quantités sous les fonctions, et les multipliant toutes par un coefficient $\lambda$ dont la valeur sera entre les limites $0$ et $1,$ et qui sera là même dans la même fonction, mais qui pourra être différente dans les différentes fonctions.