Ici la quantité 
demeure indéterminée ; mais nous avons déjà vu que les deux premiers termes de 
dans l’équation proposée sont 
par conséquent, on aura 
et de là
![{\displaystyle \mathrm {A} '=f'(x),\quad \mathrm {B} =f(x)f'(x),\quad \mathrm {B} '=f(x)f''(x)+\left[f'(x)\right]^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb532a961d4dfb99dcdb8edbba3a7dabaa2bec50)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}\left[2f(x)f'^{2}(x)+f^{2}(x)f''(x)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaadfc552eec7546b16590682843b43726209c74)
Mais, en examinant les expressions de 
on voit d’abord qu’elles peuvent se mettre sous cette forme,
en dénotant, en général, par le caractère 
la fonction prime selon 
de la quantité renfermée entre les deux crochets, et, si l’on fait les substitutions successives, on trouve que ces expressions sont réductibles à celles-ci, plus simples,
en marquant par un trait, deux traits, etc. les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable 
de sorte que, en substituant la valeur de 
on aura enfin
![{\displaystyle z=x+yf(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+{\frac {y^{4}}{2.3.4}}\left[f^{4}(x)\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ddea77b46572e4b770b54ee1af194ddb0f6780)
86. Supposons maintenant qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque 
de 
développée de même suivant les puissances de 
on fera 
et, prenant les équations primes pour faire disparaître la fonction, on aura
