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tités $z'+\mathrm {N}$ et $\mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'\,;$ ces quantités deviendront, par la substitution des expressions précédentes de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N} ,$

${\frac {f'(y)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(x)\right]-\operatorname {F} '(y)\left[f'(z)z'+f'(x)\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},$

${\frac {\operatorname {F} '(x)\left[f'(z)z'+f'(y)y'\right]-f'(x)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(y)y'\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.$

Si l’on ajoute, et qu’on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité $\operatorname {F} '(y)f'(y)y'$ et du numérateur de la seconde la quantité $\operatorname {F} '(x)f'(x),$ et qu’on fasse attention que $\operatorname {F} '(x)+\operatorname {F} '(y)y'+\operatorname {F} '(z)z'$ est la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z),$ que nous dénoterons simplement par $\operatorname {F} (x,y,z)'\,;$ que de même $f'(x)+f'(y)y'+f'(z)z'$ est la fonction prime de $f(x,y,z),$ que nous dénoterons pareillement par $f(x,y,z)',$ on aura

${\begin{aligned}z'+\mathrm {N} =&{\frac {f'(y)\operatorname {F} (x,y,z)'-\operatorname {F} '(y)f(x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}\\\mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f(x,y,z)'-f'(x)\operatorname {F} (x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait les deux équations

$z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,$

ces équations seront équivalentes à ces deux-ci,

$\operatorname {F} (x,y,z)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,z)'=0,$

dont les équations primitives sont évidemment

$\operatorname {F} (x,y,z)=\mathrm {A} ,\quad f(x,y,z)=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes arbitraires, de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Mais il est possible qu’en cherchant les équations primitives des équations

$z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,$

où $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont des fonctions données de $x,y,z,$ on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu’elles