Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/185

Ainsi les valeurs de $a$ et $b$ seront déterminées par ces deux conditions, car on aura

$b=f'(x)\quad {\text{et}}\quad a=f(x)-xf'(x).$

Donc l’équation de la ligne droite deviendra

$q=f(x)-xf'(x)+pf'(x),$

$p$ et $q$ étant les deux coordonnées et l’abscisse $x$ étant regardée comme constante.

Je dis maintenant que cette droite a la propriété qu’aucune autre droite ne pourra être menée entre elle et la courbe.

Car, soit

$s=\varphi (r)=g+hr$

l’équation d’une autre droite quelconque ; pour qu’elle passe par le même point commun, il faudra que l’on ait aussi $\varphi (x)-f(x),$ et, pour qu’elle puisse passer entre la courbe et la droite que nous venons de déterminer, il faudra de plus que l’on ait $\varphi '(x)=f'(x)$ (n^o 3) ; ces deux conditions donnent

$g+hx=f(x)\quad {\text{et}}\quad h=f'(x),$

d’où l’on tire, pour $g$ et $h,$ les mêmes valeurs que nous venons de trouver pour $a$ et $b,$ de sorte que cette dernière droite coïncidera avec la première.

Donc la droite déterminée par l’équation

$q=a+bp,$

où $a=f(x)-xf'(x)$ et $b=f'(x),$ sera tangente de la courbe représentée par l’équation $y=f(x),$ au point qui répond à l’abscisse $p=x.$

Puisque $y=f(x),$ on aura, suivant la notation employée dans la première Partie,

$y'=f'(x)\,;$

donc les expressions de $a$ et $b$ seront plus simplement

$a=y-xy'\quad {\text{et}}\quad b=y'.$