Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/213

cune d’elles un contact du premier ordre. La même équation

$f(x,y,a)=0,$

ainsi que son équation prime

$f(x,y,a)'=0,$

prise relativement à $x$ et $y$ seuls, devront donc avoir lieu aussi pour chaque point de cette courbe enveloppante, en regardant le paramètre a comme une quantité variable. Or, dans cette hypothèse, la fonction prime complète de $f(x,y,a)$ est $f(x,y,a)'+a'f'(a),$ en dénotant par $f'(a)$ la fonction prime de $f(x,y,a)$ prise relativement à $a$ seul, et par $a'$ la fonction prime de $a,$ regardée comme une fonction quelconque de $x\,;$ donc il faudra que la valeur de $a$ soit telle que l’on ait $f'(a)=0,$ ce qui donnera l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre qui répond à l’équation

$f(x,y,a)=0,$

dans laquelle $a$ est regardée comme une constante arbitraire (n^o 60, I^re Partie).

D’où l’on peut conclure, en général, que l’équation, primitive singulière d’une équation du premier ordre représente toujours la courbe enveloppante de toutes les courbes qui, peuvent être représentées par son équation primitive complète, en donnant à la constante arbitraire toutes les valeurs possibles.