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CHAPITRE VII.

Théorie du contact des courbes à double courbure. Du rayon osculateur, des centres de courbure et du lieu de ces centres. Des développées des courbes à double courbure. Quadrature et rectification de ces courbes.

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32. Les courbes planes appartiennent à la Géométrie de deux dimensions et dépendent, par conséquent, que de deux coordonnées. Les courbes à double courbure doivent appartenir à la Géométrie de trois dimensions, puisqu’elles ne peuvent être tracées que sur la surface des corps solides ; aussi dépendent-elles de trois coordonnées perpendiculaires entre elles, dont deux sont fonctions de la troisième, de sorte qu’elles ne peuvent être représentées que par deux équations entre trois indéterminées.

Soient donc, pour une courbe quelconque à double courbure,

$y=f(x),\quad z=\varphi (x),$

$x,y,z$ étant les trois coordonnées rectangulaires. Soient de même, pour une autre courbe donnée,

$q=\operatorname {F} (p),\quad r=\Phi (p),$

$p,q,r$ étant pareillement ses trois coordonnées rapportées aux mêmes axes que les précédentes. Si l’on veut que ces deux courbes aient un point commun pour l’abscisse $x,$ il faudra qu’en faisant $p=x$ on ait aussi

$q=y\quad {\text{et}}\quad r=z\,;$

donc

$y=\operatorname {F} (x)\quad {\text{et}}\quad z=\Phi (x).$