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et en déduire des résultats semblables. Ainsi, pour le contact du premier ordre, on aura l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

avec ses deux équations primes suivant $x$ et $y\,;$ pour le contact du second ordre, on aura, outre les trois équations précédentes, les trois équations secondes de

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

suivant $x,$ suivant $y,$ et suivant $x$ et $y\,;$ et ainsi de suite.

42. Prenons, pour la surface donnée, la sphère dont l’équation la plus générale est

$(p-a)^{2}+(q-b)^{2}+(r-c)^{2}=d^{2},$

$p,q,r$ étant les trois coordonnées d’un point quelconque de sa surface, $a,b,c$ les trois coordonnées qui déterminent la position du centre, et $d$ le demi-diamètre ou le rayon.

En changeant dans cette équation $p,q,r$ en $x,y,z,$ et prenant ensuite les deux équations primes suivant $x$ et $y,$ on aura ces trois équations,

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}-d^{2}=0,$

${\begin{aligned}x-a+z'(z-c)=&0,\\y-b+z_{_{'}}(z-c)=&0,\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer d’abord les trois constantes $a,b,c\,;$ on trouvera ainsi

${\begin{aligned}a=&x+{\frac {dz'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\b=&y+{\frac {dz_{_{'}}}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\c=&z-{\frac {d}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\end{aligned}}$

et le rayon $d$ sera encore arbitraire.

La sphère déterminée par ces éléments sera donc tangente de la