Par l’élimination de 
on aura une équation en 
de cette forme,
en faisant, pour abréger,
et la résolution de cette équation donnera
équation du premier ordre en 
et 
puisque 
étant, par la nature de la surface, une fonction donnée de 
et 
les quantités 
seront aussi des fonctions données de et 
Donc l’équation primitive en et 
renfermera une constante arbitraire et représentera une infinité de courbes qui seront les projections des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface proposée.
Si l’on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire disparaître les termes où et 
se trouvent ensemble, on en tirera
Donc, substituant la valeur de et faisant de plus
on aura
et de là
d’où l’on voit que les deux valeurs du radical donnent l’une le maximum et l’autre le minimum du rayon 
