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le second, il faudra que l’on ait, tant pour le maximum que pour le minimum,

$z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}>0.$

D’où l’on peut conclure que les valeurs de $x$ et $y$ tirées des équations $z'=0$ et $z_{_{'}}=0$ donneront un maximum ou un minimum suivant que l’on aura $z_{_{''}}<$ ou $>0,$ pourvu que l’on ait en même temps

$z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}>0,$

ce qui emporte, comme l’on voit, la condition que $z''$ et $z_{_{''}}$ soient de même signe.

Donc, si $z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}=$ ou $<0,$ il n’y aura ni maximum ni minimum, à moins que les fonctions tierces ne disparaissent aussi, auquel cas le jugement dépendra des fonctions quartes, et ainsi de suite.

Il ne suffit donc pas, pour l’existence du maximum ou minimum, que l’on ait $z''<0$ et $z_{_{''}}<0$ ou $z''>0$ et $z_{_{''}}>0,$ comme on pourrait le conclure du Chapitre XI de la seconde Partie du Calcul différentiel d’Euler.

52. Il est facile d’appliquer la méthode précédente aux fonctions de trois variables. Supposons que $u$ soit fonction des variables $x,y,z\,;$ regardant d’abord $x$ et $y$ comme constantes et $z$ seul comme variable ; on aura, suivant la notation déjà adoptée (n^o 92, I^re Partie),

$\,_{_{'}}\!u=0$

pour la condition du maximum ou minimum, et ensuite $\,_{_{''}}\!u<0$ pour le maximum et $\,_{_{''}}\!u>0$ pour le minimum. L’équation $\,_{_{''}}\!u=0$ donnera la valeur de $z$ en $x$ et $y,$ qu’on substituera ou qu’on supposera substituée dans la fonction $u,$ moyennant quoi cette fonction, ne contenant plus que les deux variables $x$ et $y,$ retombera dans le cas que nous venons de résoudre.

Pour construire des formules générales, on remarquera que, si $u$ n’était qu’une fonction de $x$ et $y,$ on aurait pour le maximum et le minimum les conditions

$u'=0\quad {\text{et}}\quad u_{_{'}}=0\,;$