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partie qui ne contient que les premières dimensions de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots$ ait une valeur plus grande, positive ou négative, que la fonction primitive de l’autre partie. Car, en substituant $i\alpha$ à la place de $\omega ,$ $\alpha$ étant une quantité variable quelconque et $i$ un coefficient constant, la première partie se trouvera toute multipliée par $i$ et la seconde le sera par $i^{2},$ et leurs fonctions primitives seront aussi multipliées par $i$ et par $i^{2}\,;$ et il est visible qu’on pourra toujours donner à $i$ une valeur assez petite pour que la première de ces fonctions surpasse la seconde, du moins tant qu’elle ne sera pas nulle. D’où l’on conclura qu’on pourra toujours prendre la quantité assez petite pour que la valeur totale de la fonction primitive dont il s’agit soit nécessairement positive ou négative, suivant que celle de la première partie de cette fonction le sera. Mais il est visible que celle-ci doit changer de signe en changeant le signe de la quantité $\omega .$ Donc il sera impossible que la fonction totale soit constamment positive ou négative, indépendamment de la valeur de $\omega ,$ à moins que la fonction primitive de la partie qui ne contient que les premières dimensions de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots$ ne soit nulle, quelle que soit la valeur de $\omega .$ Donc le maximum ou minimum ne pourra avoir lieu, a moins que la fonction primitive de la fonction

$\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots$

ne soit nulle, quelle que soit la valeur de $\omega .$

Cette fonction étant nulle, il faudra alors que la fonction primitive de l’autre partie

${\frac {1}{2}}\omega ^{2}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega ^{'2}f''(y')+\ldots$

soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, en donnant à $\omega$ une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra.

62. Pour satisfaire à la première de ces conditions de la manière la plus générale, nous remarquerons que, puisque la quantité doit demeurer indéterminée, la fonction primitive de la fonction

$\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots$