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mum ou minimum ; mais on n’en sera assuré que par l’autre condition $\mathrm {T} >$ ou $<0,$ ou bien $=0$ pour les deux cas.

66. De plus, et c’est ici une condition bien essentiellè, il faudra que les quantités $\mathrm {M,N,P}$ ne deviennent point infinies entre les mêmes limites, pour qu’on puisse être assuré que la fonction primitive de la quantité dont il s’agit sera nécessairement positive ou négative, d’après le théorème du n^o 38 de la première Partie ; car ce théorème, étant fondé sur la nature du développement des fonctions en séries des puissances positives de la quantité ajoutée à la variable, est nécessairement sujet aux exceptions attachées à la forme de ce développement, que nous avons examinées n^o 30 (I^re Partie) et n^o 13 ci dessus ; il pourra donc être en défaut si les fonctions dérivées de la fonction primitive deviennent infinies, parce qu’alors le développement n’aura plus la même forme ; c’est ce qui arrivera nécessairement lorsque la fonction primitive passera du positif au négatif par l’infini, comme les tangentes des angles ; alors, pour la valeur de $x$ répondant à ce passage, le développement de la fonction de $x+i$ aura son premier terme de la forme $\mathrm {A} i^{m},$ $m$ étant un nombre impair négatif, et la fonction prime ainsi que toutes les suivantes seront infinies. Dans ce cas, la fonction primitive pourra changer de signe, quoique sa fonction prime conserve toujours le même signe.

Pour en voir un exemple bien simple, il n’y a qu’à considérer la fonction ${\frac {x}{1-x}},$ qui est $=1$ lorsque $x={\frac {1}{2}}$ et $=-2$ lorsque $x=2\,;$ cependant sa fonction prime ${\frac {1}{(1-x)^{2}}}$ est toujours positive tant que $x$ a une valeur réelle. Ici la fonction primitive et toutes ses dérivées deviennent inilnies lorsque $x=1.$

C’est une modification à apporter au théorème dont il s’agit, mais qui n’influe point sur la conclusion qu’on en a tirée dans le n^o 39.

67. Ayant satisfait à ces conditions, on aura la fonction primitive

$\mu +\omega ^{2}\nu ,$