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pour l’équation du maximum ou minimum. Cette équation est susceptible de la méthode du n^o 55 (I^re Partie) et donne sur-le-champ

$y=ge^{x{\sqrt {-1}}}+he^{-x{\sqrt {-1}}},$

$g$ et $h$ étant deux constantes arbitraires ; si $n$ était une quantité négative $=-k^{2},$ alors on aurait, en prenant d’autres constantes arbitraires $g$ et $h,$

$y=g\sin(kx+h).$

Supposons, pour plus de simplicité, que les valeurs de $y$ soient données pour les deux valeurs extrêmes $a$ et $b$ de $x\,;$ les quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront nulles d’elles-mêmes, et l’équation $\mathrm {B=A}$ sera satisfaite (n^o 63) ; on déterminera donc les constantes $a$ et $b$ de manière que $y$ ait les valeurs données lorsque $x=a$ et $x=b.$

Maintenant, nous aurons, par les formules du n^o 65,

$\mathrm {M} =n-\nu ',\quad \mathrm {N} =2(m-\nu ),\quad \mathrm {P} =1,$

d’où l’on voit que, puisque $\mathrm {P}$ est $>0,$ il n’y a que le minimum qui puisse avoir lieu. Mais cette condition ne suffit pas pour assurer l’existence du minimum ; il faudra de plus que l’on ait

$\mathrm {M-{\frac {N^{2}}{4P}}} >0\quad {\text{ou}}\quad =0.$

Soit : 1^o $\mathrm {M-{\frac {N^{2}}{4P}}} >0\,;$ on aura

$n-\nu '-(m-\nu )^{2}>0,$

en prenant pour $\nu$ une quantité qui ne devienne point infinie entre les limites $a$ et $b$ de $x.$ Si la valeur de $n$ est positive, il est clair qu’on peut satisfaire à cette condition en faisant $\nu =m\,;$ ainsi on sera assuré, dans ce cas, de l’existence du minimum, puisque les deux quantités $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ sont d’ailleurs nulles par l’hypothèse que les valeurs de $y$ sont données pour $x=a$ et $=b$ (n^o 67). Mais, si $n$ est négative et $=-k^{2},$ on aura alors la condition

$-\nu '>k^{2}+(m-\nu )^{2},$