CHAPITRE XIII.
Extension de la méthode précédente aux fonctions d’un nombre quelconque de variables. Problème de la brachistochrone. Caractères pour distinguer si une fonction proposée est ou non une fonction prime, ou en général une fonction dérivée d’un certain ordre.
71. La fonction proposée, dont la fonction primitive doit être un maximum ou un minimum, pourrait contenir, outre les variables 
et 
une troisième variable 
indépendante des deux autres ; on opérerait alors, relativement à cette variable, comme on a fait relativement à 
Ainsi, en désignant la fonction proposée par
on y substituera à la fois les quantités 
et 
à la place de 
et et il faudra, après le développement, que la fonction primitive de la partie qui ne contiendra que les premières dimensions de 
soit nulle, et que la fonction primitive de la partie qui contiendra les secondes dimensions de ces mêmes quantités soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des quantités 
et 
De là, par une analyse semblable à celle du no 62 et en conservant aussi pour les fonctions primes relatives à 
une notation semblable à celle que nous avons employée relativement à 
on aura ces deux équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =&0,\\f'(z)-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\ldots =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1791fb3100a75a82cbbb000232f1de5c09031f5)
