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plus petite section du pri\sine, faites par les quatre plans tangents de la surface courbe.

Soit $\alpha$ l’angle que le plan tangent à l’extrémité de l’ordonnée $z$ fait avec l’axe des $x,y\,;$ on aura (n^o 39)

$\operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}.$

Or on sait, par la Géométrie, que la mesure de la projection d’un plan est égale à celle de ce plan multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. Donc, puisque les sections du prisme dont il s’agit ont toutes pour projection le même rectangle $io,$ la mesure de la section faite par le plan qui touche la surface à l’extrémité de l’ordonnée $z$ sera ${\frac {io}{\cos \psi }}\,;$ mais on a $\cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}}\,;$ donc la mesure de cette section sera

$io{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},$

savoir, en substituant $f(x,y)$ à $z,$

$io{\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.$

Faisons, pour abréger, ${\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}=\varphi (x,y)\,;$ on aura

$io\varphi (x,y)$

pour la mesure de la section dont il s’agit, et, mettant $x+i,\ y+o$ à la place de $x,y,$ on aura celle des sections faites par les trois autres plans qui touchent la surface aux extrémités des ordonnées $f(x+i,y),$ $f(x,y+o)$ et $f(x+i,y+o).$ Donc il faudra que la quantité

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)$

soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite des quatre quantités

$io\varphi (x,y),\quad io\varphi (x+i,y),\quad io\varphi (x,y+o),\quad io\varphi (x+i,y+o),$

et, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, on en conclura la condition

$\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=\varphi (x,y)={\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.$