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du n^o 22 (I^re Partie), on aura, pour la surface cherchée, la formule

$2\pi a^{2}+{\frac {2\pi ac^{2}}{\mathrm {E} }}\operatorname {angle} \left(\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {E} }{a}}\right).$

87. Si l’on n’avait pas fait $a=b,$ et qu’on eût supposé, en général,

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u}{a^{2}}},$

on eût eu, pour la fonction primitive relative à $t,$ la formule

$ab+{\frac {ac^{2}\mathrm {V} ^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}},$

où

$e^{2}=b^{2}-c^{2}\mathrm {V} ^{2},$

et il aurait été impossible, dans l’état actuel de l’Analyse, de trouver la fonction primitive de celle-ci relative à $u.$ Mais on peut toujours avoir cette fonction par approximation lorsque la différence des demi-axes $a$ et $b$ est assez petite.

Soit ${\frac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=i\,;$ cette quantité étant positive ou négative, la quantité $\mathrm {V} ^{2}$ deviendra $1+icos^{2}u,$ et il n’y aura qu’à mettre, dans la formule précédente, $c^{2}\left(1+icos^{2}u\right)$ à la place de $c^{2}\mathrm {V} ^{2},$ ensuite développer par rapport à $i.$ Donc, si l’on suppose

${\frac {ac^{2}}{2{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}\operatorname {l} {\frac {b+{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}{b-{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}=f(c^{2}),$

on aura, en développant par les fonctions dérivées relatives à $c^{2},$ la série

$ab+f\left(c^{2}\right)+f'\left(c^{2}\right)c^{2}icos^{2}u+{\frac {1}{2}}f''\left(c^{2}\right)c^{4}i^{2}cos^{4}u+{\frac {1}{2.3}}f'''\left(c^{2}\right)c^{6}i^{3}cos^{6}u+\ldots ,$

dont il faudra prendre les fonctions primitives relatives à $u$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi .$

Désignons par $2\pi \alpha ,2\pi \beta ,2\pi \gamma ,\ldots$ les fonctions primitives de $cos^{2}u,$ $cos^{4}u,\ cos^{6}u,\ \ldots$ prises entre ces limites ; on aura, pour la surface de