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puissance de $\theta ,$ la première équation donnera

${\begin{aligned}y'\ \ =&(y')x',\quad y''=(y')x''+(y''\ )x'^{2},\\y'''=&(y')x'''\ +\ \,3(y'')x'x''+(y''')x'^{3},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; d’où l’on tire

${\begin{aligned}(y'\ \ )=&{\frac {y'}{x'}},\quad (y'')={\frac {y''-(y')x''}{x'^{2}}}={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},\\(y''')=&{\frac {y'''-(y')x'''-3(y'')x'x''}{x'^{3}}}={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {y'x''}{x'^{4}}}-{\frac {3y''x''}{x'^{4}}}+{\frac {3y'x''^{2}}{x'^{5}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; et l’on aura, par la seconde équation, des formules semblables pour $(z'),(z''),\ldots$ en changeant seulement la lettre $y$ en $z.$

Ces formules s’accordent avec celles que nous avons trouvées, d’une autre manière, dans la première Partie (n^o 50), car on voit que

$(y')={\frac {y'}{x'}},\quad (y'')={\frac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}},\quad \ldots .$

L’analyse précédente est plus directe et résulte des premiers principes de la chose mais celle de l’endroit cité a l’avantage de faire voir la loi de la progression, car elle donne immédiatement

$(y')={\frac {y'}{x'}},\quad (y'')={\frac {\left[(y')\right]'}{x'}},\quad (y''')={\frac {\left[(y'')\right]'}{x'}},\quad \ldots .$

et ainsi de suite, en désignant par un trait appliqué aux parenthèses carrées la fonction prime de la quantité renfermée entre les parenthèses.

Par le moyen de ces formules, on pourra transformer les équations qui contiennent les fonctions dérivées $x',x'',\ldots ,y',y'',\ldots ,z',z'',\ldots ,$ relativement à $t$ en d’autres équations où il n’y ait que les fonctions dérivées $(y'),(y''),\ldots ,(z'),(z''),\ldots$ relativement à $x.$