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à la densité du milieu, alors, nommant $\Delta$ cette densité dans un lieu quelconque, on aura

$r=mu^{2}\Delta ,$

$m$ étant un coefficient constant ; donc, substituant la valeur de $u,$

$r={\frac {mg\left(1+y'^{2}\right)\Delta }{-y''}},$

et, mettant cette valeur dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$m\Delta ={\frac {y'''}{2y''{\sqrt {1+y'^{2}}}}},$

par où l’on déterminera la densité du milieu nécessaire pour faire décrire la courbe donnée. Réciproquement, cette équation servira à déterminer la courbe lorsque la densité du milieu sera donnée.

Pour les projectiles lancés dans l’air, on peut supposer la densité du milieu constante ; ainsi, faisant, pour plus de simplicité, $2m\Delta ={\frac {1}{k}},$ l’équation de la courbe sera

${\frac {y'''}{y''}}=k{\sqrt {1+y'^{2}}}=ks',$

$s$ étant l’arc de la courbe, d’où l’on tire, en prenant les fonctions primitives,

$y=\mathrm {A} e^{ks},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire c’est la forme la plus simple sous laquelle puisse être mise l’équation de cette courbe. On peut tirer de ces équations les différentes, approximations qui ont été données jusqu’ici pour la détermination de la courbe décrite par les boulets et les bombes ; mais les bornes de cét écrit nous empêchent d’entrer dans aucun détail sur ce sujet.

18. Nous remarquerons encore qu’on aurait pu déduire tout de suite l’équation de la courbe des équations du mouvement,

$x''=-{\frac {rx'}{s'}},\quad y''=-g-{\frac {ry'}{s'}},$