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Ainsi, en supposant $\mathrm {X}$ une fonction quelconque de $x,$ les fonctions primes de

$\mathrm {X} ^{m},\quad \operatorname {l} \mathrm {X} ,\quad a^{\mathrm {X} },\quad \sin \mathrm {X} ,\quad \cos \mathrm {X} ,\quad \ldots$

seront

$m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ',\quad \mathrm {\frac {X'}{X}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '\operatorname {l} a,\quad \mathrm {X} '\cos \mathrm {X} ,\quad -\mathrm {X} '\sin \mathrm {X} ,\quad \ldots ,$

et leurs fonctions secondes

$m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ''+m(m-1)\mathrm {X} ^{m-2}\mathrm {X} '^{2},\quad \mathrm {\frac {X''}{X}} -\mathrm {\frac {X'^{2}}{X^{2}}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}\operatorname {l} a+a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}(\operatorname {l} a)^{2},$

$\mathrm {X''\cos X-X'^{2}\sin X,\quad -X''\sin X-X'^{2}\cos X,\quad \ldots } ,\quad$

et ainsi de suite.

17. Mais la fonction $y$ pourrait n’être donnée que par une équation quelconque entre $x$ et $y.$

Représentons cette équation, en général, par $\operatorname {F} (x,y)=0\,;$ on aura, par la résolution, $y$ égal à une certaine fonction de $x,$ qu’on pourra désigner par $f(x),$ de sorte que, en substituant $f(x)$ pour $y$ dans la fonction $\operatorname {F} (x,y),$ elle deviendra $\operatorname {F} \left[x,f(x)\right],$ fonction de $x$ seul que nous désignerons par $\varphi (x).$ Cette fonction $\varphi (x)$ devra donc être nulle quelle que soit la valeur de $x$. Donc elle le sera aussi en mettant $x+i$ pour $x,$ quelle que soit la valeur de $i$. Mais, par cette substitution, $\varphi (x)$ devient

$\varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x)+\ldots \,;$

donc, pour que $i$ puisse être une quantité quelconque, il faudra que l’on ait séparément les équations

$\varphi (x)=0,\quad \varphi '(x)=0,\quad \varphi ''(x)=0,\quad \ldots ,$

dont la première est l’équation donnée, la seconde est sa fonction prime, la troisième sa fonction seconde, etc.

Or, puisque $y(x)=\operatorname {F} \left[x,f(x)\right]=\operatorname {F} (x,y),$ $\varphi '(x)$ sera la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y),$ $y$ étant regardée comme fonction de $x,$ et, par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera