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$x\cos i-y\sin i,\ \xi \cos i-\eta \sin i,\ldots$ et les ordonnées $y,\eta ,\ldots$ en $y\cos i+x\sin i,\ \eta \cos i+\xi \sin i,\ldots ,$ les fonctions représentées par les caractéristiques $\operatorname {F} ,\Phi ,\ldots$ ne varient point par ces changements, quel que soit l’angle $i.$ Il est facile de voir que cette propriété aura lieu, en général, dans toute fonction des quantités $x^{2}+y^{2},\ \xi ^{2}+\eta ^{2},\ x\xi +y\eta ,$ $x\eta -y\xi ,\ldots .$

Si l’on fait, dans ce cas,

${\begin{alignedat}{2}a=&x(\cos i-1)-y\sin i,\qquad &b=&y(\cos i-1)+x\sin i,\ldots ,\\\alpha =&\xi \,(\cos i-1)-\eta \sin i,&\beta =&\eta (\cos i-1)+\xi \sin i,\ldots ,\end{alignedat}}$

il faudra qu’en substituant à la fois dans ces fonctions $x+a,y+b,$ $\xi +\alpha ,\eta +\beta ,\ldots$ à la place de $x,y,\xi ,\eta ,\ldots$ et développant suivant les puissances de $i,$ la somme des termes affectés d’une même puissance soit nulle. Or, par ces substitutions et par le développement suivant les puissances de $a,b,\alpha ,\beta ,\ldots ,$ la fonction $\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\ldots )$ devient

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\ldots )+a\operatorname {F} '(x)+b\operatorname {F} '(y)+\alpha \operatorname {F} '(\xi )+\beta \operatorname {F} '(\eta )+\ldots +{\frac {a^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x)+\ldots .$

Mais on a

$\sin i=i-{\frac {i^{3}}{2.3}}+\ldots ,\quad \cos i=1-{\frac {i^{2}}{2}}+\ldots \,;$

donc les termes affectés de $i$ dans la formule précédente seront

$i\left[-y\operatorname {F} '(x)+x\operatorname {F} '(y)-\eta \operatorname {F} '(\xi )+\xi \operatorname {F} '(\eta )-\ldots \right]\,;$

par conséquent on aura, pour la fonction $\operatorname {F} (x,y,\ldots ),$ l’équation de condition

$x\operatorname {F} '(y)-y\operatorname {F} '(x)+\xi \operatorname {F} '(\eta )-\eta \operatorname {F} '(\xi )+\ldots =0.$

On trouvera de la même manière, pour la fonction $\Phi (x,y,\ldots ),$ l’équation

$x\Phi '(y)-y\Phi '(x)+\xi \Phi '(\eta )-\eta \Phi '(\xi )+\ldots =0,$

et ainsi des autres.