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Mais si, au contraire, on donne l’équation

(2)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0$

de la développée, et que l’on élimine $\alpha$ et $\beta$ entre les équations (1) et (2), on obtiendra l’équation différentielle du second ordre

(3)

$\operatorname {F} \left[x-{\frac {y'\left(1+y'^{2}\right)}{y''}},\ y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}\right]=0,$

que la théorie présente immédiatement comme devant faire connaître les développantes de la courbe représentée par l’équation (2). Mais cette équation est du second ordre, et son intégrale complète doit renfermer deux constantes arbitraires, tandis qu’il n’en peut entrer qu’une seule dans l’équation des développantes, d’où résulte ce paradoxe d’Analyse signalé par Lagrange, et qu’il est bien aisé d’éclaircir. D’abord l’équation (3) est du genre de celles dont nous avons parlé précédemment, et son intégrale première s’obtiendra en éliminant $y''$ des équations (1), ce qui donne

(4)

$(x-\alpha )+y'(y-\beta )=0,$

dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ doivent être considérées comme deux constantes liées par la relation

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0\,;$

$\gamma$ désignant une constante arbitraire, l’intégrale de l’équation (4) sera

$(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=\gamma ^{2}.$

Cette équation, qui renferme deux constantes arbitraires, est l’intégrale générale de l’équation (3) ; elle représente un cercle de rayon arbitraire et dont le centre est en un point quelconque de la courbe donnée que représente l’équation (2). Le cercle satisfait effectivement à la question de Géométrie, puisque, pour chacun de ses points, le centre de courbure est bien situé sur la courbe donnée. Il résulte donc de là que l’équation des développantes de la courbe proposée est nécessairement une solution singulière de l’équation différentielle (3). La plupart des Traités d’Analyse ne font aucune mention de l’équation (3) comme devant faire connaître l’équation des développantes, et l’on se contente habituellement de montrer, à l’aide de considérations particulières, que celle-ci est l’intégrale générale d’une équation différentielle du premier ordre, laquelle résulte de l’élimination de $\alpha$ et $\beta$ entre les trois équations

$(x-\alpha )+{\frac {dy}{dx}}(y-\beta )=0,$

${\frac {d\beta }{d\alpha }}{\frac {dy}{dx}}+1=0,$

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0.$

C’est, au surplus, le résultat auquel on est immédiatement conduit en considérant les développantes d’une courbe comme les trajectoires orthogonales de ses tangentes.

IV. Nous allons montrer quelle extension on peut donner aux considérations particulières que l’on emploie dans la théorie des développantes.