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dans laquelle on mettra, à la place de $\sin nx$ et $\cos nx,$ leurs valeurs en série $n\mathrm {A} x+n^{2}\mathrm {B} x^{2}+\ldots ,$ $1-{\frac {n^{2}\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+\ldots ,$ et l’on développera la puissance $n$ du second membre. On aura ainsi

${\begin{aligned}1&+n\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+n^{2}\left(\mathrm {B} {\sqrt {-1}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\right)x^{2}+\ldots \\&=\cos ^{n}x\left[1+n{\frac {\sin x}{\cos x}}{\sqrt {-1}}+{\frac {n(n-1)}{2}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}{\sqrt {-1}}\right)^{2}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Or

${\frac {\sin x}{\cos x}}=\operatorname {tang} x,\quad \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}\,;$

donc

$\cos ^{n}x=\left(1-\sin ^{2}x\right)^{\frac {n}{2}}=1-{\frac {n}{2}}\sin ^{2}x+{\frac {n(n-2)}{2.4}}\sin ^{4}x-\ldots .$

Substituant ces valeurs, la quantité $n$ ne se trouvera plus que dans les coefficients, et, ordonnant les termes suivant les puissances de cette quantité, le second membre deviendra de cette forme $1+n\mathrm {P} +n^{2}\mathrm {Q} +\ldots ,$ en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\sin ^{4}x-{\frac {1}{6}}\sin ^{6}x-\ldots ,\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}$

effaçant l’unité des deux membres et divisant toute l’équation par $n,$ elle deviendra

$\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+n\left(\mathrm {B} {\sqrt {-1}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\right)x^{2}+\ldots =\mathrm {P} +n\mathrm {Q} +\ldots ,$

et, comme elle doit avoir lieu indépendamment de la quantité $n,$ qui doit demeurer indéterminée, il faudra que les termes qui contiennent les différentes puissances de $n$ se détruisent d’eux-mêmes, ce qui la réduira d’abord à $\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}=\mathrm {P} ,$ savoir, en développant les puissances de $\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}},$

${\begin{aligned}\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}=&\left(\operatorname {tang} x-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}x+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{5}x-\ldots \right){\sqrt {-1}}\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{2}x-{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{4}x+{\frac {1}{6}}\operatorname {tang} ^{6}x-\ldots \\&-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\sin ^{4}x-{\frac {1}{6}}\sin ^{6}x-\ldots .\end{aligned}}$