46. Quoique la conclusion précédente soit fondée sur la-théorie des séries, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir lieu généralement quelle que soit l’expression de puisqu’on peut toujours regarder une expression en série comme le développement d’une expression finie. Mais, comme c’est là une propriété caractéristique des équations dérivées entre deux variables, il est important de l’établir sur la nature même de ces équations.
Considérons donc, en général, l’équation à deux variables et désignons simplement par son équation prime, par l’équation seconde, et ainsi de suite, en regardant et comme variables à la fois. Soient des constantes quelconques contenues dans la fonction ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées. Ainsi, puisque les équations et ont lieu en même temps, on pourra en éliminer une constante et l’équation résultante sera une équations du premier ordre entre et qui renfermera une constante de moins que l’équation primitive et qui aura par conséquent lieu en même temps que celle-ci. De même, les trois équations ayant lieu à la fois, on pourra en éliminer deux constantes et l’équation résultante sera une équation du second ordre entre et qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive et qui aura lieu en même temps qu’elle ; et ainsi de suite.
Donc, puisque dans les équations à deux variables une équation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l’équation primitive, une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l’équation primitive, et ainsi de suite, il s’ensuit réciproquement que l’équation primitive doit contenir une constante de plus que l’équation dérivée du premier ordre, deux constantes de plus que l’équation dérivée du second ordre, et ainsi de suite, constantes qui seront par conséquent arbitraires, et il est visible en même temps qu’elles ne sauraient en contenir davantage, puisqu’on ne pourrait pas les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.
