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$\mathrm {V} {\frac {\partial \theta }{\partial t}}\left\{r-{\frac {1}{\mathrm {V} }}[(x-\xi )\xi '+(y-\eta )\eta '+(z-\zeta )\zeta ']\right\}=$

$-\left[(x-\xi )\xi '+(y-\eta )\eta '+(z-\zeta )\zeta '\right]$

${\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial r}{\partial t}}={\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {\beta \cos {\lambda }}{1-\beta \cos {\lambda }}}$

${\frac {\partial \xi }{\partial t}}={\frac {\xi '}{1-\beta \cos {\lambda }}},{\frac {\partial \xi '}{\partial t}}={\frac {\xi ''}{1-\beta \cos {\lambda }}}.$

Avec ces intermédiaires il est facile d’achever le calcul des deux champs, puisqu’on connaît les dérivées par rapport à $x,y,z$ et à $t$ de toutes les quantités qui figurent dans les expressions des potentiels vecteurs.

Tous calculs faits, les résultats peuvent s’énoncer de la manière remarquablement simple qui va nous occuper maintenant.

IV. — Chacun des deux champs $\mathrm {E}$ et $\mathrm {M}$ peut être décomposé en deux parties, dont la première, qui existe seule dans le cas d’un mouvement uniforme de l’électron, dépend uniquement de la vitesse $v$ possédée par ce dernier à l’instant $t-\theta$.

Pour le champ électrique, cette première partie $\mathrm {E} _{1}$ est dirigée vers la position $\mathrm {O} '$ qu’occuperait l’électron à l’instant $t$ s’il avait continué à se mouvoir depuis l’instant $t-\theta$ avec la vitesse $v=\beta \mathrm {V}$ qu’il possédait à cet instant, de sorte que $\mathrm {OO} '=v\theta ,\ \mathrm {O} '$ coïncidant d’ailleurs avec la position vraie de l’électron à l’instant actuel $t$, si le mouvement est rectiligne et uniforme. $\mathrm {E} _{1}$ est donné en unités électrostatiques par :

(3)

$\mathrm {E} _{1}={\frac {e(1-\beta ^{2})}{r^{3}(1-\beta \cos {\lambda })^{3}}}\cdot \mathrm {O'P} .$

La partie correspondante $M_{1}$ du champ magnétique est perpendiculaire au plan $\mathrm {OO'P}$ de la vitesse $v$ et du rayon $r$ et a pour mesure en unités électromagnétiques, si $\lambda '$ est l’angle de $v$ avec $\mathrm {O'P}$ :

(4)

$\mathrm {M} _{1}=\beta \mathrm {E} _{1}\sin {\lambda '}.$

J’appellerai onde de vitesse cette première partie du champ électromagnétique ; l’ensemble de ces ondes de vitesse émises par l’électron aux différents instants qui ont précédé l’instant actuel $t$ constitue des sphères ayant pour centres les diverses positions antérieures du mobile et s’enveloppant mutuellement si la vitesse de celui-ci n’atteint jamais la vitesse $\mathrm {V}$ de la lumière, cas auquel je me limiterai ici ; l’ensemble de ces ondes constitue ce que j’appellerai le sillage électromagnétique de l’électron, accompagnant celui-ci dans son déplacement ; nous verrons en effet que l’onde de vitesse ne corres-