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PREMIÈRE PARTIE, SECTION V.

Ainsi tout se réduit à intégrer les valeurs de $ds$ et $dx$ ; mais ces intégrations dépendent de la rectification des sections coniques. Jusqu’à présent il ne paraît pas qu’on ait été plus loin dans la solution générale du problème de la courbe élastique.

51. Considérons maintenant les termes de l’équation générale qui sont hors du signe $S$; ces termes sont

$({\frac {\lambda ''dx''}{ds''}}-d.(I''d^{2}x''))\delta x''+I''d^{2}x''d\delta x''$ $+\left({\frac {\lambda ''dy''}{ds''}}-d.(I''d^{2}y'')\right)\delta y''+I''d^{2}y''d\delta y''$ $+\left({\frac {\lambda ''dz''}{ds''}}-d.(I''d^{2}z'')\right)\delta z''+I''d^{2}z''d\delta z''$ $-\left({\frac {\lambda 'dx'}{ds'}}-d.(I'd^{2}x')\right)\delta x'+I'd^{2}x''d\delta x'$ $-\left({\frac {\lambda 'dy'}{ds'}}-d.(I'd^{2}y')\right)\delta y'+I'd^{2}y''d\delta y'$ $-\left({\frac {\lambda 'dz'}{ds'}}-d.(I'd^{2}z')\right)\delta z'+I'd^{2}z''d\delta z'$;

et il faudra les faire disparaître indépendamment des valeurs de $\delta x''$, $\delta y''$, etc.

Donc, I°, si le fil est entièrement libre, il faudra que les coefficiens des douze quantités $\delta x''$, $\delta y''$, $\delta z''$, $d\delta x''$, $d\delta y''$, $d\delta y''$, $d\delta z''$, $\delta x'$, $\delta y'$, $\delta z'$, $d\delta x'$, $d\delta y'$, $d\delta y'$, $d\delta z'$ soient chacun nul en particulier.

Or d’après les premières équations intégrales de l’article 48, on voit qu’en faisant commencer les intégrations au premier point du fil, les coefficiens de $\delta x'$, $\delta y'$, $\delta z'$ sont égaux à $A$, $B$, $C$, et ceux de $\delta x''$, $\delta y''$, $\delta z''$ deviennent $A+SXd\mathrm {m}$, $B+SYd\mathrm {m}$, $C+SZd\mathrm {m}$. Ainsi il faudra que l’on ait, dans le cas dont il s’agit $A=0$, $B=0$, $C=0$, et $SXd\mathrm {m} =0$, $SYd\mathrm {m} =0$, $SZd\mathrm {m} =0$.

Ensuite il faudra que l’on ait aussi $I''d^{2}x''=0$, $I''d^{2}y''=0$, $I''d^{2}z''=0$, $I'd^{2}x'=0$, $I'd^{2}y'=0$, $I'd^{2}z'=0$, pour faire dispairaître les termes affectés de $d\delta x''$, $d\delta y''$, etc.; et il est clair que les secondes équations intégrales du même article donneront