Nous avons été conduits à admettre que l’énergie rayonnante est pesante, que la lumière ne se propage pas en ligne droite dans un champ de gravitation, pas plus qu’un mobile lancé ne s’y meut de manière rectiligne et uniforme. Or il est possible, au moins localement, de supprimer les effets de la gravitation en utilisant un système de référence en chute libre et sans rotation, le boulet de Jules Verne, par exemple, dans lequel tous les corps se meuvent par rapport aux parois d’un mouvement rectiligne et uniforme et par rapport auquel, par conséquent, il n’y a pas de champ de gravitation. Si nous admettons qu’en même temps la lumière s’y propage en ligne droite (par rapport à des axes liés au boulet), l’Univers est euclidien pour des observateurs en chute libre. Mais il ne l’est que dans une région infiniment petite : en effet, comme le champ de gravitation terrestre n’est pas uniforme, un mobile libre ne se meut d’un mouvement rectiligne et uniforme par rapport au boulet de Jules Verne que dans une région limitée au voisinage de celui-ci. L’univers euclidien lié à celui-ci est seulement langent à l’univers réel. Les mesures faites à son voisinage (analogues à l’arpentage dans le plan tangent) ne permettent d’évaluer le ds^2 entre deux événements par la formule (5) que dans un domaine d’univers infiniment petit. L’hypothèse de Gauss sur l’existence d’un plan tangent est analogue à la suivante :
En tout lieu et à tout instant (en tout événement), il y a un univers euclidien tangent à l’univers réel ;
