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MÉCANIQUE CÉLESTE.
rés des vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres, en les considérant deux à deux, et en supposant l’un des deux immobile, chaque carré étant multiplié par le produit des deux masses que l’on considère.
23. Reprenons l’équation (R) du n° 19 ; en la différentiant par rapport à la caractéristique
on aura
![{\displaystyle \sum mv\delta v=\sum m\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e647dc40b6718745c333faa611172bcb0e3c11)
l’équation (P) du n° 18 devient ainsi
![{\displaystyle 0=\sum m\left(\delta x\cdot d{\frac {dx}{dt}}+\delta y\cdot d{\frac {dy}{dt}}+\delta z\cdot d{\frac {dz}{dt}}\right)-\sum mdt\cdot v\delta v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafcf7eac4dacbc6b58ee1be8b0b73197c96b1d6)
Soient
l’élément de la courbe décrite par
l’élément de la courbe décrite par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&vdt=ds,\;v'dt=ds',\cdots ,\\&ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},\cdots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4d45a1f7eb38924a753e1b63f6b5cef0697bf0)
d’où l’on tirera, en suivant l’analyse du n° 8,
![{\displaystyle \sum m\delta v\left(vds\right)=\sum md{\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6eda54953b3d332464ad995bc69e00a1d0792b)
En intégrant par rapport à la caractéristique différentielle
et en étendant les intégrales aux courbes entières décrites par les corps
on aura
![{\displaystyle \sum \delta \int mvds=\mathrm {const.} +\sum m{\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb1c4e34dd1668b09fdd0d71e2beaf8fe81ecad)
les variations
étant, ainsi que la constante du second membre de cette équation, relatives aux points extrêmes des courbes décrites par
Il suit de là que, si ces points sont supposés invariables, on a
![{\displaystyle 0=\sum \delta \int mvds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8dea337050e38d4b3757de34a696c16ac2294)