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MÉCANIQUE CÉLESTE.

ϐ et $\lambda$ étant deux nouvelles arbitraires : le problème est ainsi complètement résolu, puisque les valeurs de $s$ et de $u$ donnent les angles $\theta$ et $\varphi$ en fonction du temps, et que $\psi$ est déterminé en fonction de \phi et de $t.$ Si ϐ est nul, le plan des $x'$ et des $y'$ devient le plan invariable auquel nous avons rapporté, dans le numéro précédent, les angles $\theta ,\varphi$ et $\psi .$

31. Si le solide est libre, l’analyse des numéros précédents donnera son mouvement autour de son centre de gravité ; si le solide est forcé de se mouvoir autour d’un point fixe, elle fera connaître son mouvement autour de ce point. Il nous reste à considérer le mouvement d’un solide assujetti à se mouvoir autour d’un axe fixe.

Concevons que $x'$ soit cet axe, que nous supposerons horizontal : dans ce cas, la dernière des équations (B) du n^o 25 suffira pour déterminer le mouvement du corps. Supposons, de plus, que l’axe des $y'$ soit horizontal, et qu’ainsi l’axe des $z'$ soit vertical et dirigé vers le centre de la Terre ; supposons enfin que le plan qui passe par les axes des $y'$ et des $z'$ passe par le centre de gravité du corps, et imaginons un axe passant constamment par ce centre et par l’origine des coordonnées. Soit $\theta$ l’angle que ce nouvel axe fait avec celui des $z'$ ; si l’on nomme $y''$ et $z''$ les coordonnées rapportées à ce nouvel axe, on aura

$y'=y''\cos \theta +z''\sin \theta ,\qquad z'=z''\cos \theta -y''\sin \theta ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {S} {\frac {y'dz'-z'dy'}{dt}}dm=-{\frac {d\theta }{dt}}.\mathrm {S} dm\left(y''^{2}+z''^{2}\right).$

$\mathrm {S} dm\left(y''^{2}+z''^{2}\right)$ est le moment d’inertie du corps relativement à l’axe des $x'$ : soit ${\rm {C}}$ ce moment. La dernière des équations (B) du n^o 25 donnera

$-\mathrm {C} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}.$

Supposons que le corps ne soit sollicité que par l’action de la pesan-