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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

la double intégrale $\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ renfermera un terme proportionnel au carré du temps ou un terme dépendant de l’angle $\alpha t+{\text{ϐ}}$ et qui aura $\alpha ^{2}$ pour diviseur ; il est clair que, en faisant $a=0,$ ce second cas rentrera dans le premier : ainsi nous considérerons, pour plus de généralité, le cas dans lequel $a$ est quelconque, mais très petit, et nous chercherons les termes de $\delta r$ et de $\delta v$ qui dépendent de l’angle $\alpha t+{\text{ϐ}}$ et qui ont $\alpha ^{2}$ pour diviseur.

Si l’on fixe l’origine de l’angle $v$ à l’aphélie de la planète $m,$ on a, par la nature du mouvement elliptique,

${\begin{aligned}ndt=&{\frac {r^{2}dv}{a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}},\\r=&{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1-e\cos v}}.\end{aligned}}$

Cette dernière équation donne

$r\cos v={\frac {r-a\left(1-e^{2}\right)}{e}}\,;$

la fonction $\int ndtr\cos v\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ devient ainsi

$\int ndt{\frac {r-a\left(1-e^{2}\right)}{e}}\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Or on a, par la théorie du mouvement elliptique,

$r=a(1-{\frac {1}{2}}e^{2}+e\chi ),$

$\chi$ étant une suite infinie de cosinus de l’angle $n+\varepsilon +\varpi$ et de ses multiples ; on aura donc

$\int ndtr\cos v\int \operatorname {d} \mathrm {R} =a\int ndt({\frac {3}{2}}e+\chi )\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Si l’on nomme $\chi '$ l’intégrale $\int n\chi dt,$ on aura

$\int n\chi dt\int \operatorname {d} \mathrm {R} =\chi '\int \operatorname {d} \mathrm {R} -\int \chi '\operatorname {d} \mathrm {R} ,$

et il est visible qu’aucun de ces deux derniers termes ne peut avoir $\alpha ^{2}$