Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/351

337

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

${\frac {1}{2}}(a,a')+(a,a')'\cos \theta +\ldots ,$ on aura

$b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}={\frac {(a,a')}{a'}},\qquad b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}={\frac {(a,a')'}{a'}},\qquad \ldots ,$

partant

$(0,1)=-{\frac {3m'n\mathrm {T} }{4}}{\frac {a^{2}a'(a,a')'}{\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}.$

En changeant dans cette expression de $(0,1)$ les quantités $m',n,a$ et $a',$ dans $m,n',a'$ et $a,$ on aura l’expression de $(1,0)\,;$ mais $(a,a')'$ reste toujours le même après ce changement ; on aura donc

$(1,0)=-{\frac {3mn'\mathrm {T} }{4}}{\frac {a'^{2}a(a,a')'}{\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}.$

d’où l’on tire

$(0,1)mn'a'=(1,0)m'na.$

On a

$n={\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}},\qquad n'={\frac {1}{\sqrt {a'^{3}}}},$

partant

$(0,1)m{\sqrt {a}}=(1,0)m'{\sqrt {a'}}.$

On aura donc $(1,0)$ au moyen de $(0,1),$ en multipliant cette dernière quantité par ${\frac {m}{m'}}{\sqrt {\alpha }}.$

Il est clair que l’on aura pareillement les relations suivantes :

${\begin{aligned}(0,2)m\,\ \ {\sqrt {a}}\ \ =&(2,0)m''{\sqrt {a''}},\\(0,3)m\,\ \ {\sqrt {a}}\ \ =&(3,0)m'''{\sqrt {a'''}},\\(1,2)m'\,{\sqrt {a'}}\ =&(2,1)m''{\sqrt {a''}},\\(1,3)m'\,{\sqrt {a'}}\ =&(3,1)m'''{\sqrt {a'''}},\\(2,3)m''{\sqrt {a''}}=&(3,2)m'''{\sqrt {a'''}}.\end{aligned}}$

On s’assurera d’une manière semblable que les mêmes relations subsistent entre ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}},\ {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}},\ldots ,$ en sorte que l’on peut, dans les relations précédentes, changer les crochets ronds en crochets carrés.

Si dans les équations $(i),\ (i'),\ (i''),\ (i''')$ on élimine les arbitraires