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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

devient

$-{\frac {2(1+m')\delta r'^{2}}{r'^{3}}}+{\frac {\delta r'd^{2}\delta r'-r'^{2}(d\delta v')^{2}-4r'dv'\delta r'd\delta v'-\delta r'^{2}dv'^{2}}{dt^{2}}}.$

On a vu, dans l’article V, que la valeur de $\delta r'$ est composée de deux termes, dont le premier dépend du cosinus de l’angle $nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '$ et a pour diviseur $n-n'-\mathrm {N} ',$ et dont le second dépend du cosinus de l’angle $2n't-2n''t+2\varepsilon '-2\varepsilon '',$ et a pour diviseur $2n'-2n''-\mathrm {N} '\,;$ il suit de là que $\delta r'^{2}$ contient un terme dépendant du cosinus de l’angle $nt-3n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '',$ et qui a pour diviseur $(n-n'-\mathrm {N} ')(2n'-2n''-\mathrm {N} ').$ Ce diviseur étant très petit, ce terme devient assez sensible pour y avoir égard. On trouvera pareillement que ${\frac {(d\delta v')^{2}}{dt^{2}}}$ renferme un terme semblable, ayant le même diviseur, et que la même chose a lieu pour les différents termes de la fonction précédente ; mais on doit observer que l’on a, à très peu près, par l’article V,

${\frac {d\delta v'}{dt}}=-{\frac {2n'\delta r'}{a'}},\qquad {\frac {d^{2}\delta r'}{dt^{2}}}=-n'^{2}\delta r'.$

En substituant ces valeurs dans la fonction précédente et en y faisant $r'=a',\ {\frac {dv'}{dt}}=n'\ {\frac {1+m}{a'^{3}}}=n'^{2},$ on trouvera qu’elle se réduit à zéro.

On voit ainsi qu’en n’ayant égard qu’aux termes dépendants de l’angle $nt-3n't+2n''t$ et qui ont pour diviseur $n-3n'+2n'',$ et en négligeant les carrés et les produits des excentricités des orbites, l’expression de ${\frac {d\delta 'v}{dt}}$ se réduit à la suivante

${\frac {d\delta 'v}{dt}}={\frac {3\int \operatorname {d} \mathrm {R} }{\sqrt {(1+m)a}}}\,;$

d’où l’on tire, en négligeant $m$ vis-à-vis de l’unité et en observant que $n^{2}={\frac {1}{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}\delta 'v}{dt^{2}}}={\frac {3an\operatorname {d} \mathrm {R} }{dt}}.$

Développons maintenant les différents termes de $\operatorname {d} \mathrm {R}$ qui dépendent