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Les seconds membres de ces équations sont égaux et de même signe ; ils sont encore, abstraction faite du signe, la somme des erreurs extrêmes : or il est clair que, faisant varier convenablement $y,$ on peut diminuer chacune de ces sommes, puisque le coefficient de $y$ est du même signe dans les deux premiers membres ; on peut donc alors diminuer chacune des erreurs extrêmes, ce qui est contre l’hypothèse ; ainsi le nombre $i'$ doit tomber entre les nombres $i$ et $i''.$

Déterminons maintenant lesquelles des erreurs $x,x_{1},x_{2},\ldots$ sont les erreurs extrêmes. Pour cela, on retranchera la première des équations (A) successivement des suivantes, et l’on aura cette suite d’équations

(B)

$\left\{{\begin{aligned}a_{1}-a-(p_{1}-p)y=&x_{1}-x,\\a_{2}-a-(p_{2}-p)y=&x_{2}-x,\\a_{3}-a-(p_{3}-p)y=&x_{3}-x,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Supposons $y$ infini ; les premiers membres de ces équations seront négatifs, et alors la valeur de $x$ sera plus grande que $x_{1},x_{2},\ldots .$ En diminuant continuellement $y,$ on arrivera enfin à une valeur qui rendra positif l’un de ces premiers membres ; mais, avant que d’arriver à cet état, il deviendra nul. Pour connaître celui de ces membres qui, le premier, devient égal à zéro, on formera les quantités

${\frac {a_{1}-a}{p_{1}-p}},\quad {\frac {a_{2}-a}{p_{2}-p}},\quad {\frac {a_{3}-a}{p_{3}-p}},\quad \ldots .$

Nommons $\beta$ la plus grande de ces quantités et supposons qu’elle soit

${\frac {a_{r}-a}{p_{r}-p}}.$

S’il y a plusieurs valeurs égales à $\beta ,$ nous considérerons celle qui correspond au nombre $r$ le plus grand. En substituant $\beta$ pour $y,$ dans la $r$^ième des équations (B), $x_{r}$ sera égal à $x,$ et, en diminuant $y,$ il l’emportera sur $x,$ le premier membre de la $r$^ième équation devenant alors