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plus de révolution ; il est formé d’une sphère du rayon $a$ et d’un nombre quelconque de couches semblables à l’excès du sphéroïde de révolution, dont le rayon est $a+s\alpha a\Gamma (\mu ),$ sur la sphère dont le rayon est $a,$ ces couches étant posées arbitrairement les unes au-dessus des autres.

Si l’on compare l’expression de $\Gamma (\cos \theta ')$ à celle de ${\rm {P}}^{(i)}$ du n^o 23, on verra que ces deux fonctions sont semblables, et qu’elles ne diffèrent que par les quantités $\gamma$ et ϐ, qui dans ${\rm {P}}^{(i)}$ sont $v$ et $\psi ,$ et par un facteur indépendant de $\mu$ et de $\varpi$ ; on a donc

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial .\Gamma (\cos \theta ')}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}.\Gamma (\cos \theta ')}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\Gamma (\cos \theta ').$

Il est facile d’en conclure que, si l’on représente par $\alpha {\rm {Y}}^{(i)}$ la fonction

${\begin{aligned}&\alpha \Gamma \left[\cos \gamma \cos \theta +\sin \gamma \sin \theta \cos(\varpi -{\text{ϐ}})\right]\\+&\alpha '\Gamma \left[\cos \gamma '\cos \theta +\sin \gamma '\sin \theta \cos(\varpi -{\text{ϐ}}')\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

${\rm {Y^{(i)}}}$ sera une fonction rationnelle et entière de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ qui satisfera à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Y}}^{(i)}\,;$

en choisissant donc pour ${\rm {Y}}^{(i)}$ la fonction la plus générale de cette nature, la fonction $a\left(1+\alpha {\rm {Y}}^{(i)}\right)$ sera l’expression la plus générale du rayon du sphéroïde immobile en équilibre.

On peut parvenir au même résultat au moyen de l’expression de {\rm V} en séries du n^o 11 ; car l’équation de l’équilibre étant, par le numéro précédent,

$const.={\rm {V}}+a^{2}{\rm {N}},$

si l’on suppose que toutes les forces étrangères à l’action réciproque des molécules fluides se réduisent à une seule force attractive égale