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puissance de la distance à laquelle l’attraction est proportionnelle, que nous croyons pouvoir la présenter ici. L’attraction étant comme une puissance quelconque $n$ de la distance, si l’on désigne par $dm$ une molécule du sphéroïde, et par $f$ sa distance au point attiré, l’action de $dm$ sur ce point, multipliée par l’élément $-df$ de sa direction, sera $-dmf^{n}df.$ L’intégrale de cette quantité, prise par rapport à $f,$ est $-{\frac {dmf^{n+1}}{n+1}},$ et la somme de ces intégrales, étendue au sphéroïde entier, est $-{\frac {\rm {V}}{n+1}},$ en supposant, comme dans le n^o 10, ${\rm {V}}=\int f^{n+1}dm.$

Si le sphéroïde est fluide, homogène et doué d’un mouvement de rotation, et s’il n’est sollicité par aucune attraction étrangère, on aura à sa surface, dans le cas de l’équilibre, par le n^o 23,

const.$=-{\frac {\rm {V}}{n+1}}+{\frac {1}{2}}gr^{2}\left(1-\mu ^{2}\right),$

$r$ étant le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à sa surface, et $g$ étant la force centrifuge à la distance $1$ de l’axe de rotation.

La pesanteur $p$ à la surface du sphéroïde est égale à la différentielle du second membre de cette équation, prise par rapport à $r$ et divisée par $-dr,$ ce qui donne

$p={\frac {1}{n+1}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}-gr\left(1-\mu ^{2}\right).$

Reprenons maintenant l’équation (1) du n^o 10, qui est relative à la surface,

${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}={\rm {A}}'-{\frac {(n+1){\rm {A}}}{2a}}+{\frac {(n+1){\rm {V}}}{2a}}\,;$

cette équation, combinée avec les précédentes, donne

$p={\rm {const}}.+\left({\frac {(n+1)r}{4a}}-1\right)gr\left(1-\mu ^{2}\right).$

À la surface, $r$ est à très-peu près égal à $a$ ; en faisant donc, pour simplifier, $a=1,$ on aura

$p={\rm {const}}.+{\frac {n-3}{4}}g\left(1-\mu ^{2}\right).$