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de termes de la forme

(P)

$h^{(1)}y-c^{(1)},h^{(2)}y-c^{(2)},h^{(3)}y-c^{(3)},\ldots ,$

dans lesquels nous supposerons $h^{(1)},h^{(2)},\ldots$ positifs, en changeant le signe des termes où $y$ a un coefficient négatif. Ces termes sont les erreurs des arcs mesurés, prises positivement ou négativement. Cela posé,

Il est clair qu’en faisant $y$ infini, chaque terme de cette suite devient infini ; mais ils diminuent à mesure que l’on diminue $y,$ et finissent par devenir négatifs, d’abord le premier, ensuite le second, et ainsi des autres. En diminuant toujours $y,$ les termes une fois parvenus à être négatifs continuent de l’être, et diminuent sans cesse. Pour avoir la valeur de $y$ qui rend la somme de ces termes, pris tous positivement, un minimum, on ajoutera les quantités $h^{(1)},h^{(2)},\ldots ,$ jusqu’à ce que leur somme commence à surpasser la demi-somme entière de toutes ces quantités ; ainsi, en nommant ${\rm {F}}$ cette somme, on déterminera $r$ de manière que l’on ait

${\begin{aligned}&h^{(1)}+h^{(2)}+h^{(3)}+\ldots +h^{(r)}>{\frac {1}{2}}{\rm {F}},\\&h^{(1)}+h^{(2)}+h^{(3)}+\ldots +h^{(r-1)}<{\frac {1}{2}}{\rm {F}}.\end{aligned}}$

On aura alors $y={\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}},$ en sorte que l’erreur sera nulle, relativement au degré même qui correspond à celle des équations (O) dont le premier membre, égalé à zéro, donne cette valeur de $y.$

Pour le faire voir, supposons que l’on augmente $y$ de la quantité $\delta y,$ de manière que ${\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}+\delta y$ soit compris entre ${\frac {c^{(r-1)}}{h^{(r-1)}}}$ et ${\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}.$ Les $r-1$ premiers termes de la série (P) seront négatifs, comme dans le cas de $y={\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}\,;$ mais, en les prenant avec le signe $+,$ leur somme diminuera de la quantité

$\left(h^{(1)}+h^{(2)}+\ldots +h^{(r-1)}\right)\delta y.$

Le r.^ième terme de cette suite, qui est nul lorsque $y={\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}},$ deviendra