On déterminera les fonctions au moyen de la figure initiale du fluide, et les fonctions au moyen de sa vitesse initiale ; ainsi, l’expression précédente de embrassant toutes les figures et toutes les vitesses dont le fluide est susceptible, elle a toute la généralité que l’on peut désirer.
Si la quantité n’était pas nulle, la valeur de irait en croissant sans cesse, et l’équilibre ne serait pas ferme, quel que fût d’ailleurs le rapport de la densité du fluide à celle de la sphère qu’il recouvre. Mais il est facile de s’assurer que les quantités et sont nulles, par cela seul que la masse fluide est constante. Cette condition donne l’intégrale étant prise depuis jusqu’à et depuis jusqu’à or on a généralement, par le no 12 du troisième Livre,
lorsque et sont des nombres différents ; on aura donc
ainsi, en égalant cette quantité à zéro, on aura et
Il suit de là que la stabilité de l’équilibre du fluide dépend du signe des quantités car, si l’une de ces quantités, telle que est négative, le sinus et le cosinus de l’angle se changent en exponentielles, et ils se changent en arcs de cercle si Dans ces deux cas, la valeur de cesse d’être périodique, condition nécessaire pour la stabilité de l’équilibre. étant égal à cette quantité ne peut être positive que dans le cas où l’on a étant un nombre entier positif égal ou plus grand que l’unité ; il faut donc, pour la stabilité de l’équilibre, que cette condition soit remplie pour toutes les valeurs de et cela ne peut avoir lieu qu’au tant que l’on a c’est-à-dire que la densité du noyau doit surpasser celle du fluide. Voilà donc la condition générale de la stabilité de l’équilibre, condition qui, si elle est remplie, rend l’équilibre ferme, quel que soit
![{\displaystyle {\frac {i(i+1)lg}{(2i+1)\rho }}\left[(2i+1)\rho -3\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efff17e380e9a729e137046200ec0bc22a16975f)
