Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/26

on aura

$dx={\frac {\varepsilon dp}{{\dfrac {\partial y}{\partial q}}{\dfrac {\partial z}{\partial r}}-{\dfrac {\partial y}{\partial r}}{\dfrac {\partial z}{\partial q}}}},$

ce qui donne

${\text{ϐ}}={\frac {\varepsilon }{{\dfrac {\partial y}{\partial q}}{\dfrac {\partial z}{\partial r}}-{\dfrac {\partial y}{\partial r}}{\dfrac {\partial z}{\partial q}}}}\,;$

partant, ϐϐ’ϐ"$=\varepsilon$, et la différentielle ${\rm {P}}dxdydz$ est transformée dans celle-ci $\varepsilon {\rm {P}}dpdqdr,\ {\rm {P}}$ étant ici ce que devient ${\rm {P}}$ lorsque l’on y substitue pour $x,y,z$ leurs valeurs en $p,q,r$. Tout se réduit donc à choisir les variables $p,q,r$ en sorte que les intégrations deviennent possibles.

Transformons les coordonnées $x,y,z$ dans le rayon mené du point attiré à la molécule, et dans les angles que ce rayon forme avec des droites ou avec des plans donnés. Soit $r$ ce rayon, $p$ l’angle qu’il forme avec une droite menée par le point attiré, parallèlement à l’axe des $x$ ; soit $q$ l’angle que forme la projection de ce rayon sur le plan des $y$ et des $z$ avec l’axe des $y$ ; on aura

$x=a-r\cos p,\qquad y=b-r\sin p\cos q,\qquad z=c-r\sin p\sin q\,;$

on trouvera, cela posé, $\varepsilon =-r^{2}\sin p\,;$ la différentielle $dxdydz$ sera ainsi transformée dans $-r^{2}\sin pdpdqdr$ : c’est l’expression de la molécule $d{\rm {M}},$ et, comme cette expression doit être positive, il faut, en considérant $\sin p,dp,dq,dr$ comme positifs, changer son signe, ce qui revient à changer celui de $\varepsilon ,$ et à supposer $\varepsilon =r^{2}\sin p.$ Les expressions de ${\rm {A,B,C}}$ deviendront ainsi

${\begin{aligned}{\rm {A}}&=\iiint drdpdq\sin p\cos p,\\{\rm {B}}&=\iiint drdpdq\sin ^{2}p\cos q,\\{\rm {C}}&=\iiint drdpdq\sin ^{2}p\sin q.\end{aligned}}$

Il est facile de parvenir d’ailleurs à ces expressions, en observant que la molécule $d{\rm {M}}$ peut être supposée égale à un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont $dr,rdp$ et $rdq\sin p,$ et en observant