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des coordonnées autour de leur origine introduit trois angles arbitraires ; en faisant donc changer à la fois, dans l’équation précédente, les coordonnées d’origine et de position, on aura une nouvelle équation du second degré, dont les coefficients seront fonctions des précédents et de six arbitraires. Si l’on égale ensuite à zéro les coefficients des premières puissances des coordonnées et de leurs produits deux à deux, on déterminera ces arbitraires, et l’équation générale des surfaces du second ordre prendra cette forme très-simple,

$x^{2}+my^{2}+nz^{2}=k^{2}\,;$

c’est sous cette forme que nous allons la considérer.

Nous n’aurons égard, dans ces recherches, qu’aux solides terminés par des surfaces finies, ce qui suppose $m$ et $n$ positifs. Dans ce cas, le solide est un ellipsoïde dont les trois demi-axes sont ce que deviennent les variables $x,y,z,$ lorsque l’on suppose deux d’entre elles égales à zéro ; on aura ainsi $k,{\frac {k}{\sqrt {m}}},{\frac {k}{\sqrt {n}}}$ pour ces trois demi-axes respectivement parallèles aux $x,$ aux $y$ et aux $z.$ La solidité de l’ellipsoïde sera ${\frac {4\pi k^{3}}{3{\sqrt {mn}}}}$ en désignant toujours par $\pi$ le rapport de la demi-circonférence au rayon.

Maintenant, si dans l’équation précédente on substitue, au lieu de $x,y,z,$ leurs valeurs en $p,q,r$, données dans le numéro précédent, on aura

$r^{2}\left(\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q\right)$

$-2r(a\cos p+mb\sin p\cos q+nc\sin p\sin q)=k^{2}-a-mb^{2}-nc^{2},$

en sorte que, si l’on suppose

${\begin{aligned}{\rm {I}}\ &=a\cos p+mb\sin p\cos q+nc\sin p\sin q,\\{\rm {L}}&=\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q,\\{\rm {R}}&=\mathrm {I} ^{2}+\left(k^{2}-a^{2}-mb^{2}-nc^{2}\right){\rm {L}},\end{aligned}}$

on aura

$r={\rm {\frac {I\pm {\sqrt {R}}}{L}}}$