Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/342

Les coordonnées $x',y',z'$ étant supposées très-petites relativement à la distance $r$ de l’astre ${\rm {L}}$ au centre de gravité de la Terre, on peut développer ${\rm {V}}$ dans une suite fort convergente par rapport aux puissances réciproques de $r_{\text{ı}}$ ; on aura ainsi, à fort peu près,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}\int dm(xx'+yy'+zz')(yx'-xy'),\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}\int dm(xx'+yy'+zz')(zx'-xz'),\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}\int dm(xx'+yy'+zz')(zy'-yz').\end{aligned}}$

On a vu, dans le n^o 28 du Livre I, que les valeurs de $p,q,r$ sont indépendantes de la position du plan des $x$ et des $y$ ; or, si nous prenons pour ce plan l’équateur même de la Terre, on aura $\theta =0,$ et si nous prenons pour l’axe des $x$ le premier axe principal, nous aurons $\varphi =0$ ; nous aurons de plus, par le n^o 26 du Livre I,

${\begin{array}{lll}\int dm\left(y^{'2}+z^{'2}\right)={\rm {A,}}&\int dm\left(x^{'2}+z^{'2}\right)={\rm {B,}}&\int dm\left(x^{'2}+y^{'2}\right)={\rm {C,}}\\\int x'y'dm=0,&\int x'z'dm=0,&\int y'z'dm=0\,;\end{array}}$

partant,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}({\rm {B-A}})xy,\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}({\rm {C-A}})xz,\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}&={\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}({\rm {C-B}})yz\,;\end{aligned}}$

les équations (D’) du n^o 1 deviendront ainsi

(F)

$\left\{{\begin{aligned}dp+{\rm {\frac {B-A}{C}}}qrdt&={\frac {3{\rm {L}}dt}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {B-A}{C}}}xy,\\\\dq+{\rm {\frac {C-B}{A}}}rpdt&={\frac {3{\rm {L}}dt}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {C-B}{A}}}yz,\\\\dr+{\rm {\frac {A-C}{B}}}pqdt&={\frac {3{\rm {L}}dt}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {A-C}{B}}}xz.\end{aligned}}\right.$