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on aura, en observant que $d\varphi$ est à très-peu près égal à $ndt,$

${\begin{aligned}M&={\frac {{\frac {k+k'}{2}}{\rm {(C-B)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}+i{\rm {B}}\right]}{(n+i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}},\\\\M'&={\frac {{\frac {k+k'}{2}}{\rm {(C-A)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}+i{\rm {A}}\right]}{(n+i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}},\\\\N&={\frac {{\frac {k-k'}{2}}{\rm {(C-B)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}-i{\rm {B}}\right]}{(n-i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}},\\\\N'&={\frac {{\frac {k-k'}{2}}{\rm {(C-A)}}\left[n{\rm {(A+B-C)}}-i{\rm {A}}\right]}{(n-i)^{2}{\rm {AB}}-n^{2}{\rm {(A-C)(B-C)}}}}.\end{aligned}}$

Reprenons maintenant les équations du n^o 26 du Livre I,

${\begin{aligned}&d\varphi -d\psi \cos \theta =pdt,\\&d\psi \sin \theta \sin \varphi -d\theta \cos \varphi =qdt,\\&d\psi \sin \theta \cos \varphi +d\theta \sin \varphi =rdt.\end{aligned}}$

Ces équations donnent

$d\theta =rdt\sin \varphi -qdt\cos \varphi \,;$

on aura donc

${\frac {d\theta }{dt}}={\rm {\frac {M'-M}{2}}}\sin(2\varphi +it+\varepsilon )+{\rm {\frac {N'-N}{2}}}\sin(2\varphi -it-\varepsilon )$

$+{\rm {\frac {N+N'-M-M'}{2}}}\sin(it+\varepsilon ).$

Nous pouvons négliger les deux premiers termes de cette expression de ${\frac {d\theta }{dt}},$ parce qu’ils sont insensibles en eux-mêmes, et que d’ailleurs ils n’augmentent point par l’intégration. Il n’en est pas ainsi du troisième terme, que l’intégration peut rendre sensible, si $i$ est fort petit. Dans ce cas, on peut négliger $i$ relativement à $n,$ et l’on a, à fort peu près,

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\rm {A+B-2C}}{2n{\rm {C}}}}k'\sin(it+\varepsilon ).$