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le terme $-{\frac {3md\nu }{4}}\sin ^{2}\gamma \cos \theta \sin \Lambda ,$ et, vu la lenteur des variations de $\gamma$ et de $\Lambda$, ce terme peut devenir, par l’intégration, très-sensible dans la valeur de $\theta .$ On aura ainsi, à très-peu près, en observant que $e$ et $\gamma$ sont fort petits, et en ne conservant parmi les termes multipliés par ces quantités que ceux qui peuvent croître considérablement par les intégrations,

$\int {\rm {P}}'xdt=-{\frac {3m}{4}}\sin \theta \cos 2\nu -{\frac {3m^{2}}{2}}\cos \theta \int \gamma dt\sin \Lambda .$

$\gamma \sin \Lambda$ est le produit de l’inclinaison de l’orbe solaire par le sinus de la longitude de son nœud ascendant, comptée de l’équinoxe mobile du printemps, et, cette inclinaison étant fort petite, on peut prendre pour $\gamma$ ou son sinus ou sa tangente ; or on a vu, dans le n^o 59 du  Livre II, que, si l’on désigne par $\Gamma$ la longitude du nœud ascendant de cet orbe comptée d’un équinoxe fixe, $\operatorname {tang} \gamma \sin \Gamma$ est donné par un nombre fini de termes de la forme $c\sin(gt+{\text{ϐ}}),$ et que $\operatorname {tang} \gamma \cos \Gamma$ est donné par le même nombre de termes correspondants $c\cos(gt+{\text{ϐ}})\,;$ de plus, $\psi$ étant le mouvement rétrograde des équinoxes à partir de l’équinoxe fixe, on a $\Lambda =\Gamma +\psi ,$ ce qui donne

$\operatorname {tang} \gamma \sin \Lambda =\operatorname {tang} \gamma \sin \Gamma \cos \psi +\operatorname {tang} \gamma \cos \Gamma \sin \psi .$

En substituant $c\sin(gt+{\text{ϐ}})$ au lieu de $\operatorname {tang} \gamma \sin \Gamma ,$ et $c\cos(gt+{\text{ϐ}})$ au lieu de $\operatorname {tang} \gamma \cos \Gamma ,$ on aura

$\operatorname {tang} \gamma \sin \Lambda +c\sin(gt+{\text{ϐ}})+\psi ).$

On voit donc que, pour avoir $\operatorname {tang} \gamma \sin \Lambda ,$ il suffit d’augmenter les angles des différents termes de l’expression de $\operatorname {tang} \gamma \sin \Gamma$ de la quantité $\psi .$ On peut même, en négligeant les quantités de l’ordre $c^{2},$ substituer pour $\psi$ le moyen mouvement des équinoxes, et alors $\operatorname {tang} \gamma \sin \Lambda$ sera composé d’un nombre fini de termes de la forme $c\sin(ft+{\text{ϐ}}),$ qui ne diffèrent des termes de l’expression de $\operatorname {tang} \gamma \sin \Gamma$ qu’en ce que les angles $gt$ sont augmentés du moyen mouvement des équinoxes. On trouvera de la même manière que $\operatorname {tang} \gamma \cos \Lambda$ sera composé du nombre