Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/375

entier positif ou négatif, ou zéro, les nombres fractionna ires étant exclus, parce que $\gamma u$ est le même lorsque $\varpi =0$ et lorsque $\varpi$ est égal à quatre angles droits. Pareillement, $\gamma v$ peut être supposé développé dans une suite correspondante de termes de la forme ${\rm {M}}\sin(it+s\varpi +\varepsilon ),\ {\rm {M}}$ étant fonction de $\mu$ seul. Soient ${\rm {H'}}$ et ${\rm {M'}}$ les valeurs de ${\rm {H}}$ et de ${\rm {M}}$ relatives au même arc $it$ et qui correspondent à $s=1.$ Le coefficient étant supposé très-peu différent de $n,$ l’angle $it-\varphi +\varepsilon$ croît avec une lenteur extrême ; en ne conservant donc que les termes dépendants de cet angle, on voit que les termes de $\gamma u$ et de $\gamma v$ dans lesquels $s$ est différent de l’unité renferment l’angle $\varpi$ dans les intégrales précédentes, et disparaissent ainsi par l’intégration relative à $\varpi$ ; on a donc

$\iint \alpha n^{2}yd\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )$

$=\alpha n^{2}\pi \sin(it+\varepsilon -\varphi )\int d\mu \left[\left(1-2\mu ^{2}\right){\rm {H}}'+\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\rm {M}}'\right].$

Si l’on multiplie la seconde des équations (I) par $\alpha \gamma d\mu d\varpi \sin(\varphi +\varpi ),$ et qu’on l’ajoute à la troisième multipliée par

$\alpha \gamma d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi ),$

on aura

(O)

$\left\{{\begin{aligned}&\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi \left[{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )+2n\mu ^{2}{\frac {\partial u}{\partial t}}\cos(\varphi +\varpi )\right.\\&\quad \left.{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varphi +\varpi )-2n{\frac {\partial v}{\partial t}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\right]\\=&\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial f}{\partial \mu }}\right)\\-&\iint \alpha \gamma d\mu d\varpi {\frac {\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\cos(\varphi +\varpi )\left(g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial f}{\partial \varpi }}\right).\end{aligned}}\right.$

En substituant pour $\gamma u$ et pour $\gamma v$ l’ensemble de tous leurs termes relatifs à l’angle $it,$ et observant que $i$ est supposé très-peu différer de $n,$ le premier membre de cette équation deviendra

$\alpha n^{2}\pi \sin(it+\varepsilon -\varphi )\int d\mu \left[\left(1-2\mu ^{2}\right){\rm {H}}'+\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\rm {M}}'\right]\,;$

on aura donc, en n’ayant égard qu’aux termes dans lesquels $i$ est à