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en faisant donc $s_{\text{ı}}=\theta _{\text{ı}}\sin \varphi _{\text{ı}},\ s'_{\text{ı}}=\theta _{\text{ı}}\cos \varphi _{\text{ı}},$ on aura

${\begin{aligned}s_{\text{ı}}&={\rm {P}}\sin(lt+{\rm {I}})+{\rm {P'}}\sin(l't+{\rm {I')-{\frac {3m{\rm {(A-C)}}c'\sin(mt+g't+{\text{ϐ'}})}{3m{\rm {(A-C)}}+2{\rm {A}}g'}},}}\\\\s'_{\text{ı}}&={\rm {P}}\cos(lt+{\rm {I}})+2{\rm {P'}}{\rm {\sqrt {\frac {A-C}{B-C}}}}\cos(l't+{\rm {I')}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {3m{\rm {(A-C)}}c'\cos(mt+g't+{\text{ϐ'}})}{3m{\rm {(A-C)}}+2{\rm {A}}g'}}.\end{aligned}}$

On voit ainsi que le mouvement de l’équateur lunaire sur l’écliptique vraie ou mobile est indépendant du mouvement de cette écliptique, en sorte que l’inclinaison moyenne de cet équateur sur l’écliptique vraie reste toujours la même, malgré le déplacement de cette écliptique, l’attraction de la Terre sur le sphéroïde lunaire ramenant sans cesse l’équateur de ce sphéroïde au même degré d’inclinaison.

Les deux valeurs de $s_{\text{ı}}$ et de $s'_{\text{ı}}$ donnent

$\operatorname {tang} \varphi _{\text{ı}}=$

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&3m{\rm {(A-C)}}c'\sin(mt+g't+{\text{ϐ'}})\\-&\left[3m{\rm {(A-C)}}+2{\rm {A}}g'\right]\left[{\rm {P}}\sin(lt+{\rm {I}})+{\rm {P'}}\sin(l't+{\rm {I')}}\right]\end{aligned}}\right\}}{\left\{{\begin{aligned}&3m{\rm {(A-C)}}c'\cos(mt+g't+{\text{ϐ'}})\\-&\left[3m{\rm {(A-C)}}+2{\rm {A}}g'\right]\left[{\rm {P}}\cos(lt+{\rm {I}})+2{\rm {P'}}{\rm {\sqrt {\frac {A-C}{B-C}}}}\cos(l't+{\rm {I')}}\right]\end{aligned}}\right\}}}$

Supposons d’abord ${\rm {P}}$ et ${\rm {P'}}$ nuls ; on aura

$\operatorname {tang} \varphi _{\text{ı}}=\operatorname {tang} (mt+g't+{\text{ϐ'}}),$

ce qui donne l’une ou l’autre de ces deux valeurs de $\varphi _{\text{ı}},$

${\begin{aligned}\varphi _{\text{ı}}&=mt+g't+{\text{ϐ'}},\\\varphi _{\text{ı}}&=\pi +mt+g't+{\text{ϐ'}},\end{aligned}}$

$\pi$ étant la demi-circonférence ou égal à deux angles droits. Pour déterminer laquelle de ces deux valeurs a lieu dans la nature, nous observerons que $-g't-{\text{ϐ}}'$ est la longitude du nœud ascendant de l’orbite lunaire sur l’écliptique vraie, et les observations nous apprennent que cette longitude est la même que celle du nœud descendant de cet équateur sur cette écliptique ; or le mouvement de rotation de la Lune étant égal à son moyen mouvement de révolution, et son premier axe principal étant toujours à peu près dirigé vers la Terre, on a $\varphi _{\text{ı}},$ plus