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CHAPITRE II.

du développement en série des attractions des sphéroïdes quelconques..

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8. Considérons généralement les attractions des sphéroïdes quelconques. Nous avons vu, dans le n^o 4, que l’expression ${\rm {V}}$ de la somme des molécules du sphéroïde, divisées par leurs distances au point attiré, a l’avantage de donner par sa différentiation l’attraction de ce sphéroïde parallèlement à une droite quelconque. Nous verrons d’ailleurs, en traitant de la figure des planètes, que l’attraction de leurs molécules se présente sous cette forme dans l’équation de leur équilibre ; nous allons ainsi nous occuper particulièrement de la recherche de ${\rm {V.}}$

Reprenons l’équation du n^o 4,

${\rm {V}}=\int {\frac {d{\rm {M}}}{\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}}},$

$a,b,c$ étant les coordonnées du point attiré, $x,y,z$ étant celles de la molécule $d{\rm {M.}}$ du sphéroïde, l’origine des coordonnées étant dans l’intérieur du sphéroïde. Cette intégrale doit être prise relativement aux variables $x,y,z,$ et ses limites sont indépendantes de $a,b,c$ ; on trouvera, cela posé, par la différentiation,

(1)

$0={\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial a^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial b^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial c^{2}}},$

équation à laquelle nous sommes déjà parvenus dans le second Livre, n^o 11.

Transformons les coordonnées en d’autres plus commodes. Pour cela, soit $r$ la distance du point attiré, à l’origine des coordonnées,