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Si ${\rm {Y}}^{(i)}$ et ${\rm {Z}}^{(i')}$ sont des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ qui satisfont aux équations suivantes,

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Y}}^{(i)},\\\\&0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i'(i'+1){\rm {Z}}^{(i')},\end{aligned}}$

on a généralement

$\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi =0,$

lorsque $i$ et $i'$ sont des nombres entiers positifs différents entre eux, les intégrales étant prises depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’às $\varpi =2\pi ,\ 2\pi$ étant la circonférence dont le rayon est l’unité.

Pour démontrer ce théorème, nous observerons qu’en vertu de la première des deux équations précédentes aux différences partielles, on a

${\begin{aligned}\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi =&-{\frac {1}{i(i+1)}}\iint {\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}d\mu d\varpi \\&-{\frac {1}{i(i+1)}}\iint {\frac {{\rm {Z}}^{(i')}{\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}}{1-\mu ^{2}}}d\mu d\varpi .\end{aligned}}$

Or on a, en intégrant par parties relativement à $\mu ,$

${\begin{aligned}\int {\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}d\mu =&\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \mu }}{\rm {Z}}^{(i')}-\left(1-\mu ^{2}\right){\rm {Y}}^{(i)}{\frac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}\\\\&+\int {\rm {Y}}^{(i')}{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}d\mu ,\end{aligned}}$

et il est clair que, si l’on prend l’intégrale depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ le second membre de cette équation se réduit à son dernier terme. On a pareillement, en intégrant par parties relativement à $\varpi ,$

$\int {\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}d\varpi ={\rm {const}}+{\rm {Z}}^{(i')}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial \varpi }}-{\rm {Y}}^{(i)}{\frac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi }}+\int {\rm {Y}}^{(i)}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}d\varpi ,$