en on aura les valeurs de d’où l’on tire le théorème suivant :
Si l’on forme la quantité
étant point nul et les intégrales étant prises depuis nul jusqu’à égal au rayon de la sphère ; si l’on désigne ensuite par la somme de toutes les quantités correspondantes à jusqu’à infini, l’expression de la chaleur après un temps quelconque sera la somme des valeurs de correspondantes à jusqu’à infini.
Dans le cas où l’état initial de la chaleur ne dépend que de est nul lorsque est égal à l’unité ou plus grand ; l’expression de la chaleur se réduit alors à et l’on a le résultat intéressant que M. Fourier a donné le premier pour ce cas.
J’ai supposé l’état initial de la chaleur développé sous la forme ce développement est aussi naturel à admettre que tout autre. Il est facile d’ailleurs, par le procédé du no 16 du Livre III, de donner cette forme à toute fonction rationnelle et entière des coordonnées orthogonales. On pourrait aisément, par l’analyse de ce Livre III, obtenir cette forme au moyen d’intégrales définies ; mais, comme cela ne conduit à aucun résultat utile, nous nous abstiendrons de nous en occuper.
On aura ainsi égard à la partie de de l’équation (2) qui est indépendante des fonctions périodiques du temps, et que nous avons exprimée par On a vu qu’il en résulte, dans la température finale, la chaleur
Il est facile d’en conclure, par l’analyse précédente, que, si l’on forme
