et de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps, il suffira, dans une première approximation où l’on néglige le carré de la force perturbatrice, de différentier chacun des termes de cette série par rapport au seul mouvement de la planète. On aura ensuite, par l’intégration de ces termes, l’expression de l’unité divisée par le grand axe ; on en conclura, par les lois de Kepler, la différentielle de la longitude moyenne, qui, intégrée de nouveau, donnera cette longitude. On peut observer ici que cette double intégration donne à chaque terme du développement de la fonction perturbatrice, pour diviseur, le carré du coefficient du temps compris sous les signes sinus ou cosinus, ce qui rend ce terme fort grand lorsque ce coefficient est très-petit.
La facilité que donne l’expression très-simple de la différentielle du grand axe pour avoir la longitude me fit rechercher s’il est possible de donner aux différentielles des autres éléments elliptiques une forme aussi simple, dans laquelle les différences partielles de la fonction perturbatrice ne seraient prises que par rapport aux éléments, et dont les coefficients ne renfermeraient point le temps. En effet, il suffirait alors de différentier par rapport à ces éléments chaque terme du développement de la fonction perturbatrice, et ensuite de l’intégrer. Je parvins à obtenir les différentielles des éléments sous cette forme, par l’analyse que j’ai donnée dans le Supplément à la Mécanique céleste, et que je présentai, le 17 août 1808, au Bureau des Longitudes. Dans la même séance, Lagrange présenta une très-belle analyse, par laquelle il exprimait la différence partielle de la force perturbatrice, prise par rapport à chaque élément, par une fonction linéaire des différentielles des éléments divisées par la différentielle du temps, et dans laquelle les coefficients de ces différentielles ne renfermaient point le temps. En déterminant, au moyen de ces expressions, la différentielle de chaque élément, il parvint ensuite aux mêmes équations que j’avais trouvées. Ce grand géomètre a étendu son analyse au mouvement des corps solides, et généralement au mouvement d’un système de corps liés entre eux d’une manière quelconque. Ce travail des dernières années de sa vie est une de ses plus belles productions ; il montre que l’âge
