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MÉCANIQUE CÉLESTE.

rayon vecteur de l’orbite dans les octants. Or, on trouve facilement qu’alors, dans ces points, le rayon de courbure et le carré de la vitesse sont égaux à l’unité, et que la force centrale, dirigée vers le centre de courbure, est $k-{\frac {1}{2}}m^{2}\,;$ on a donc, par les théorèmes d’Huygens,

$k-{\frac {1}{2}}m^{2}=1.$

ce qui donne

$k=1+{\frac {1}{2}}m^{2}.$

La première expression de ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ devient ainsi

${\frac {1}{\mathrm {R} }}=1-{\frac {3}{2}}m^{2}\left(1+{\frac {1}{1-m}}\right)\,;$

en l’égalant à la seconde, on a, comme ci-dessus,

$x={\frac {{\cfrac {3}{2}}m^{2}\left(1+{\cfrac {1}{1-m}}\right)}{4(1-m)^{2}-1}}.$

Dans ce procédé, il faut déterminer $k,$ ce que l’on évite en considérant à la fois les syzygies et les quadratures.

Pour conclure de ces résultats l’inégalité de la variation, Newton observe que, dans une ellipse immobile où les aires tracées par le rayon vecteur partant du centre seraient proportionnelles aux temps, la tangente du mouvement vrai compté de l’extrémité du grand axe serait à la tangente du mouvement moyen comme le petit axe est au grand axe ou comme $1-x$ est à $1+x.$ Ensuite, pour avoir égard à l’accroissement de l’aire depuis la quadrature jusqu’à la syzygie, Newton multiplie la tangente du mouvement vrai par le rapport de la racine carrée de l’aire instantanée dans la quadrature à la racine carrée de l’aire instantanée dans la syzygie, rapport qui, par ce qui précède, est $1-{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}.$ Ainsi la tangente du mouvement vrai est à très-peu près égale au produit de la tangente du mouvement moyen