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CHAPITRE II.

de la figure de la terre.

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2. La figure de chaque couche du sphéroïde terrestre étant à fort peu près sphérique, j’exprimerai, comme dans le Livre III de la Mécanique céleste, son rayon par $a(1+\alpha y),\ \alpha$ étant un très-petit coefficient constant. Je désignerai par $\rho$ la densité de cette couche, $\rho$ étant fonction de $a$. Je nommerai $\mathrm {V}$ la somme des quotients de chaque molécule du sphéroïde terrestre, divisée par sa distance à un point extérieur attiré, $r$ étant la distance de ce point à l’origine des rayons terrestres, placée très-près du centre de gravité de la Terre. Enfin je nommerai $\mu$ le cosinus de l’angle que $r$ fait avec une droite invariable sur la surface du sphéroïde et que je prendrai pour son axe, et je nommerai $\omega$ l’angle que le plan passant par cet axe et par $r$ forme avec un méridien fixe sur la surface du sphéroïde. On peut supposer $y$ développé dans une série dans cette forme,

$y=\mathrm {Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}} +\ldots ,$

$\mathrm {Y} ^{(i)}$ étant une fonction de $a$ et de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega ,$ fonction rationnelle et entière relativement à ces trois dernières quantités, et telle que l’on a généralement

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \omega ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}.$

La formule (5) du n^o 14 du Livre III devient ainsi

$\mathrm {V} ={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}{\mathrm {Y} }^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right).$