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MÉCANIQUE CÉLESTE.

suivante. On a, par ce qui précède,

$r^{2}d(\upsilon +\delta \upsilon )=d\upsilon \left[1+{\frac {3m^{2}\cos(2\upsilon -2m\upsilon )}{4(1-m)}}\right].$

Substituant pour $r$ sa valeur $1-x\cos 2(\upsilon -m\upsilon ),$ on aura

$d\delta \upsilon =\left[2x+{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}\right]\cos(2\upsilon -2m\upsilon )d\upsilon ,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\delta \upsilon ={\frac {2x+{\cfrac {3m^{2}}{4(1-m)}}}{4(1-m)}}\sin(2\upsilon -2m\upsilon )\,;$

ici l’angle $\upsilon -m\upsilon$ est compté de la syzygie.

Généralisons maintenant la méthode de Newton. Pour cela reprenons l’expression de $\mathrm {Q}$ du n^o 1 du Livre VII. Cette expression donne ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}$ pour la force qui anime la Lune, décomposée perpendiculairement au rayon $r,$ et $-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}$ pour cette force décomposée suivant ce rayon et dirigée vers la Terre. La force ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }},$ multipliée par l’instant $dt$, donne l’accroissement de vitesse pendant l’instant $dt$ perpendiculairement au rayon ; cet accroissement, multiplié par $dt$ et par ${\frac {1}{2}}r,$ donne ${\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}dt$ pour l’accroissement de l’aire instantanée ${\frac {1}{2}}r^{2}d\upsilon ,\ dt$ étant supposé constant ; on a donc

${\frac {d.r^{2}d\upsilon }{dt}}={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}dt.$

En multipliant les deux membres de cette équation par ${\frac {r^{2}d\upsilon }{dt}}$ et intégrant, on aura

$\left(r^{2}d\upsilon \right)^{2}=h^{2}dt^{2}\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}r^{2}d\upsilon \right),$

$h$ étant une constante arbitraire, d’où l’on tire, en faisant ${\frac {1}{r}}=u.$

$dt={\frac {d\upsilon }{hu^{2}{\sqrt {1+{\cfrac {2}{h^{2}}}\int {\cfrac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\cfrac {d\upsilon }{u^{2}}}}}}},$

ce qui est la première des équations (L) du n^o 1 du Livre VII.